高二数学第一学期期末质量调研分析与教学建议

溧阳市光华高级中学   崔金华

一、基本情况与总体评价

本次调研试卷满分150分，题型结构和题量均与新高考全国Ⅰ卷保持一致．全市均分87.0，其中理科类均分95.0，文科类均分81.4，全市最高分147，各分数段人数分布合理，参与统计学生整体占中等级学生居多，整体表现良好，反映出试卷难度合理，有较好的信度和区分度．

本次期末调研考试的参加对象为我市2020年秋季入学、2023年高考的高中学生，是使用新教材参加全国新高考的首批学生．考查范围为高二第一学期教材《选择性必修第二册》（苏教版）全部教学内容，主要包括三大部分：解析几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）、数列、导数及其应用．

从新高考的考查要求来看，这三部分内容在新高考全国卷中属于重点考查对象，是必备知识，分值超过高考全卷总分的三分之一，题型上每部分内容至少考一道小题和一道大题．近两年高考的具体情况分布如下表：

本次高二期末调研考试全面考查本学期所学内容，重点突出．各部分内容试题数量分配合理，其中：解析几何部分含4道单选、1道多选、1道填空、2道解答，约占54分；数列部分含3道单选、2道多选、1道填空、2道解答，约占52分；导数及其应用部分含1道单选、1道多选、2道填空、2道解答，约占44分．试题既考查基础知识和基本方法，也注重对知识背后的关键能力和素养的考查，贴近教学实际，符合当前新高考的考查要求．

二、试题分析及教学建议

1．基础性

高考强调基础扎实，本次考试中基础题源于教材，以考查基础知识和基本技能为主，同时也兼顾对数学思想方法的考查．具体分析见下表：

例1．试卷单选题第6题，题目如下：

设，若函数有大于零的极值点，则

A．     B．     C．     D．

分析：只需方程有正根，显然，当时，作出导函数的图象，单调递增且过点，不符题意；当时，函数仍单调递增且过点，为使得函数图象与轴正半轴相交，只需即可，故答案选B．

建议：本题为教材原题，考查运用导数研究函数极值等基本知识，考查数形结合、函数与方程等基本数学思想．本题分值5分，均分却不到2分，测试结果反映出学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力还有待提升．需要注意的是，试题的“基础性”并非仅局限于试卷中的容易题，还应包含基本思想方法和基本技能，平时的教学中要善于挖掘教材中体现“基础性”的例题、习题等资源，为高考打下扎实的基础．

2．综合性

高考强调基础知识之间的相互关联，要求学生能够将各个知识点处于整体知识网络之中，形成具有内在逻辑关系的整体网络，达到触类旁通、融会贯通．

例如试卷中多选题第9题，条件给出一条含参数k的动直线方程和一个定圆方程，综合考查了直线过定点、直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，同时也突出了解析几何“用方程研究曲线”的基本思想．

再如试卷中多选题第11题，以一个确定的三次函数为例，综合考查了导数的几何意义（切线问题）以及用导数研究函数的单调性、极值、零点等问题，四个选项联系紧密，综合性较强，特别是选项C，以切线条数为背景考查三次方程解的个数，需要学生有一定的综合分析能力和较强的运算能力．

以下再举一例说明．

例2．试卷解答题第20题，题目如下：

设是公差为1的等差数列，．正项数列的前项和为，且．

（1）求数列和数列的通项公式；

（2）在和之间插入1个数，使成等差数列，在和之间插入2个数，使成等差数列，……，在和之间插入个数，使成等差数列．

①记，求的通项公式；

②求的值．

分析：第（1）问，以等差、等比数列为载体，考查数列基本量运算、数列的和与项的关系，不难得出通项公式为，属于容易题；第（2）问，考查学生阅读理解能力和分析问题解决问题的能力，综合考查等差数列的性质及求和、错位相减法求和等知识方法．第①小题，根据成等差数列可知，，由等差数列性质可知，结合第（1）问求得的数列的通项公式化简可得；第②小题采用错位相减法求和即可．

建议：本题是一道数列综合题，满分12分，均分5分左右，考查数列基本知识和基本方法，题目并不难，得分却不理想，一方面原因在于学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力较为欠缺，另一方面跟学生面对新问题时的心理因素、运算能力等有关．新高考对数列的考查基本上也是以常见的求通项及求和为主，但注重知识和方法的综合性，并且试题的呈现形式丰富多样，因此，日常的训练中要注意知识之间的交互融合，特别是选题时要适当关注运用所学知识解决问题的能力．

3．创新性

高考强调创新意识和创新思维，关注与创新密切相关的能力和素养，考查学生探索新方法、积极主动解决问题的能力，鼓励学生摆脱思维定势的束缚，勇于大胆创新．

例如试卷中填空题第15题，给定数列通项，求前项和最小时的值．这类最值问题常用的方法主要有研究数列的单调性、求出前项和的表达式再研究等等，而本题只需要根据通项研究哪些项为负即可，通过列举或者解不等式都能解决，这就要求学生面对新问题时能摆脱思维定势，具备一定的发散思维能力．

关于创新意识和创新思维的培养，也是平时教学过程中需要关注的地方．建议教师平时多研究高考试题，用高考试题来理解“四翼”中的“创新性”．

例3．2021年新高考Ⅰ卷第7题，题目如下：

若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A．    B．    C．    D．

分析：如图所示，分析曲线上任意一点处的切线的变化情况，

可知任意两条切线的交点只能在曲线与轴之间，选D．

常见的切线问题的解法大多是从“数”的角度，以切点为中心展开，

通过运算求得结果；本题却是从“形”的角度，借助几何直观分析问题．

本题是高考题在“创新性”这一考查要求上的典范，很好地考查了与创新相关的数形结合能力和直观想象素养．

三、两点思考

1．重视通性通法，强调追本朔源

本次期末调研测试中部分试题反映出学生基本方法和原理掌握不到位．例如试卷第21题第（2）问：“已知点，点在椭圆上（异于顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，若为线段的中点，求直线的方程”．该问题中已知直线过一已知点，因此再求一点或求其斜率是解决该问题的基本想法．方法一，设点P坐标，表示点T坐标，利用点在曲线上得方程组，求得点P坐标写出直线方程；方法二，设直线的斜率k，联立方程组解得点T坐标，表示点P坐标，利用CP⊥NT求得k．

事实上，解析几何的起始课中已经蕴含了问题解法的根源：确定一条直线的方式可以是“确定两点”或者“确定一点及斜率”．解题教学不仅要重视通性通法的传授，也要注重方法的根源．

2．立足教材，研究高考

新高考注重对学生学习能力的考查，通过情境的创设、适度地提问、本质的探求，使学生经历观察、探究、分析、归纳、反思、整合的过程，培养自我反思的能力，这中间，教材起到很大的作用．因此在高一高二的课堂教学中，就应引导学生对课本的概念、定义、定理、法则、公式等知识知其然且知其所以然，减少机械的程序化训练，在能力培养的过程中感悟数学思想，突出数学本质．例如本次期末调研试卷中的填空题第13题就考查了导数概念中“割线逼近切线”的思想方法．

研究全国高考就要从研究高考真题开始，在研究真题时，不能只重知识不重思维，不能只看题表（问题本身）不看题里（内涵和外延），不能只归纳考点不讲关联．研究高考真题是应对新高考最直接而有效的模式．研究真题能品味命题的理念，感受考查意图，洞察高考要求，明晰教学方向．在每一章的教学中，研究相关的高考真题，深刻认识该章节应掌握的重点内容以及高考考查的深度与广度，从而提高课堂的效能．