（本文发表于《数学通报》2016年12期）

基于提升直观想象素养的立体几何法则课的设计与反思

——以《直线与平面垂直》为例

胡云飞

（江苏省溧阳市埭头中学 213311）

直观想象是高中数学六大核心素养之一，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．就立体几何模块的课程价值来说，主要包括借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，运用直观感知、操作确认、推理论证等方法认识和探索空间图形的性质，发展学生的几何直观和空间想象能力，同时增强学生运用图形和空间想象思考问题的意识．直观想象是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．高中立体几何是提升直观想象核心素养的重要载体，课堂教学是落实核心素养的主要阵地．本文以苏教版必修2第1章立体几何初步中的“直线与平面垂直”课堂教学为例，谈谈如何基于提升学生的直观想象的核心素养来进行立体几何的教学．

1  课堂实录（片段）

环节一  从直观感受到理性思考，师生合作得到线面垂直的定义

问题1．观察圆锥，轴与底面的位置关系，称为什么关系比较好？

生：垂直．

师：为什么？“垂直”的概念来自于什么位置关系？

生：我从图形上看出轴与底面有“垂直”的感觉，然后我类比直线与直线垂直的位置关系，得到直线与底面垂直﹒

师：好，你是从直观感受的角度给出了两者的位置关系，我想大家也是认可的，那么问题来了：如何准确定义“直线与平面垂直”？

问题2．平面是抽象的，能否从刚才类比的角度以及前面线面平行关系的研究方法中得到启发？

问题3．你能肯定轴与平面内哪些直线垂直？轴还有可能与哪些直线垂直？轴是否与平面内所有直线垂直？能否说垂直于平面内任意一条直线？

（教师结合圆锥旋转模型演示，启发学生观察旋转过程中直角保持不变）

问题4．你能尝试给出直线与平面垂直的定义吗？

学生通过观察，直观判断得到“线面垂直”的形象结论，进而引导学生类比线面平行的定义探索直线与平面垂直的定义，渗透线面关系与线线关系的化归思想．尝试归纳线面垂直的定义过程，学生可能不会一下子给出精准规范的语言，教师要根据学生认知规律，设计若干问题组成问题链，由表及里，由浅入深，引导学生的思维从直观感受到理性认识，从粗糙到精致，进而完整而准确地认识直线与平面垂直的内涵．通过二维平面几何与三维空间的合理类比，培养并增强学生的空间观念．

环节二   领悟线面垂直的定义，深化空间观念的数学素养

用定义解题是数学的基本思维策略，也是数学学生核心素养高低的重要体现之一．利用线面垂直的定义研究空间的线线关系与线面关系，增强学生辨析空间图形位置关系的能力，培养学生在正确建构空间图形基础上推理论证的能力．

问题1．直线垂直于平面，直线为平面内一直线，可得什么结论？

学生通过思考，加深对线面垂直的理解，得到由定义带来的一条很重要的性质：如果直线和平面垂直，那么直线垂直于平面内的所有直线．

我们知道，在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么自然地，大家会提出疑问：

问题2．在空间，过一点有几条直线与已知平面垂直？在空间，过一点有几个平面与已知直线垂直？理由是什么？

用类比的方法，由平面到空间，由简单到复杂，由已知到未知，主要目的是增强学生空间观念的素养，摆脱原来平面对空间思维的“桎梏”，同时渗透类比的研究方法．

老师：我们把从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．

（点面距离的得来，水到渠成，十分自然．）

问题3．如果有两条直线垂直同一个平面，那么这两条直线是什么位置关系呢？

本命题的证明需要用到反证法，对学生来说较为困难，这时需要教师引导．在引导思路，让学生明白方法的基础上老师给出解题过程，并且在给出解题过程后再对解题思路进行反思，归纳反证法的一般思路与方法，这其实是“直线与平面垂直的性质定理”，此处先必指明，在判定定理得到以后在与“线面平行”作对比研究，产生线面垂直的性质定理．之所以把该定理前置，其实是顺应了研究的内在逻辑关系，问题链2，3，4一脉相承，水到渠成，是思维的深度前行，深化了直观想象的核心素养．

问题4．问题3的逆命题呢？你能用文字语言和符号语言、图形语言描述吗？

要求学生画出图形，写出已知，求证并尝试证明．

生1：已知： 求证：.

生2：这个题我无法下手．

师：认真阅读条件，出现了什么概念？

生2：线面垂直．

师：很好！那么线面垂直的定义是什么？怎么利用这个定义呢？

生2：（稍作思考）在平面内任作一条直线，则．

老师：那么，你再结合另外一个条件，判断一下，直线和的位置关系呢？

生2：垂直．

师：既然直线和平面内的任意一条直线垂直，那么直线和平面是什么位置关系呢？

生2：（会心一笑）垂直．

师：好，请你完整书写一下推理过程．

（下略）

环节三   在辨析中揭示线面垂直的判定定理，提升直观想象的核心素养

根据定义，如果想要判断一条直线垂直于一个平面，那就需考察这一条直线与平面内任意一条直线（或所有直线）是否垂直，也太麻烦了，能否减少平面内直线的数量呢？引导学生以简御繁，以少胜多，把证明与所有直线垂直的棘手问题转化为只要证与平面内两条相交直线垂直，体会数学的简洁之美．

活动1：请同学们动手，用笔做线，用桌面做平面，尝试一下，究竟几条可以满足定义的要求？

活动2：在个人思考形成初步结论的基础上，同小组相互之间交流，辨析．

活动3：展示交流结果，并说明在活动之中用了哪些数学的思想或解决问题的策略方法．

活动3的设计在于把提升直观想象的核心素养置于显著位置，引导学生观察现实生活，提炼空间图形的模型思想，在动态直线运动过程中学会合理的构造模型，在正反面辨析中学会构造反例﹒最后教师投影展示学生的解答并组织学生完善，通过文字语言、图形语言和符号语言来加深对直线与平面垂直的判定定理的理解．

环节四   在线面关系的网络结构中明晰线面垂直的性质定理

师：前面我们学习直线与平面平行在得到判定定理以后，一般是研究什么？

生：性质定理．

师：那直线和平面的判定定理我们刚刚已经有了，是不是也该探究“线面垂直的性质定理”呢？你能否类似地得到这一结论呢？

在环节二中其实已经给出了性质定理的内容，只是没有明确指出它就是性质定理．教师对比线面平行的研究思路，引导学生寻找“线面垂直的性质定理”，回头点明之前研究的问题就是直线与平面垂直的性质定理，并与线面平行的性质定理进行对比．值得一提的是直线与平面垂直的性质定理与前面研究过的直线与平面平行的性质定理的结构有区别，线面平行的性质得到线线平行，但这里线面垂直的性质定理得到的结论是线线平行，这是因为直线与平面垂直的定义中囊括了平面内的所有直线，所以线面垂直得到线线垂直利用定义即可，没有另作为一条定理的价值，另一方面也体现了空间两种特殊位置关系中平行与垂直关系的对立统一，辩证融合，认识到这一点是直观想象核心素养的高层次体现．

环节五 课堂回顾

师：这一节课你有什么样的收获呢？

通过这个问题来进行课堂小结，归纳总结核心知识和方法，达到凝练提高．

2 反思

2.1关于课堂的三个环节

（1）环节一二

这个环节重点是线面垂直定义的生成，包含两个部分，第一是线面垂直定义的产生，第二是线面垂直定义的深化领悟（用定义解题是数学的基本思维策略，也是数学学生核心素养高低的重要体现）．这一环节突出直观感知和类比化归，既有“线面化归的思想”又有“直观与理性的转化”．

（2）环节三

这个环节重点是线面垂直的判定定理，通过学生的实验操作、直观感知和空间想象来得到判定定理并理解．这一环节以简御繁，以少胜多，把“所有直线”的存在性问题转化为“两条相交直线”．

（3）环节四

这个环节重点是线面垂直性质定理的显化，在通过与线面平行的对比中寻找“线面垂直的性质定理”．环节二中其实已经证明，此处只是把这个命题“显化”为性质定理，通过与线面平行性质定理的对比分析在线面关系的网络结构中明晰线面垂直的性质定理．

（4）环节五

这个环节是课堂小结，对本课所学内容进行归纳提炼，在知识和方法上进行升华．

2.2 立体几何教学中提升直观想象核心素养的思考

立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力．《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》明确指出苏教版必修2“立体几何初步”的课程目标：“通过立体几何初步的教学，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程；使学生直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；使学生感受、体验从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等认识事物的一般科学方法．”

因此，立体几何课堂教学中提升直观想象核心素养要注意以下几点．

（1）重视学生主体地位的突显．课堂要站在学生的角度，从学生的认知水平出发展开教学，充分发挥调动学生的主动性．在课堂教学中教师要善于以问题作为教学的纽带，通过“基于学生”的问题追问来开启学生的思维．让学生问题解决的过程成为认知建构的过程，让学生在感知与体验中掌握知识以及探索知识的方法并形成习惯，同时也获得成就与快乐．

（2）重视直观感知，逐步形成空间观念，提高空间想象能力．点、线、面的位置关系是立体几何初步中的重点内容，教学中应以重要模型（比如长方体，本课线面垂直定义的得来借助了圆锥）中的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对空间图形的观察、实验、操作和思辩，使学生了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法．空间想象能力的培养是立体几何的教学重点，“根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等．”这些都是高中学生需要具有的重要的空间观念．

（3）重视文字语言、图形语言和符号语言的理解．应注意引导学生结合实际模型，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言，能做到准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系．例如，教材中的公理、推论和定理，都是用文字语言叙述的，教学中，要帮助学生学会用图形语言和符号语言来描述．在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质．三种语言是数形结合的表现：数学符号如何来表达图形特征．因此教学过程中，要特别重视学生三种语言的理解．

（4）重视与平面图形知识的联系，突出化归的思想．空间几何与平面几何联系密切，处理立体几何的方法常常是空间问题平面化．在教学中，要利用类比、联想等方法，辨别平面图形和立体图形的异同，理解两者的内在联系，并逐渐地让学生感悟到，将空间问题转化为平面问题是处理立几问题的重要思想．

总之，从几何直观中感知，能帮助理性认识的生成；理性认识的提高能提升形成空间想象能力；空间想象能力又能提高直观感知客观世界的能力．把直观感知和空间想象融合，使学生的能力螺旋上升，立体几何是提升直观想象核心素养的重要载体．